Question

15．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率為$\sqrt{2}$，過左焦點F₁（-c，0）作圓x²+y²=a²的切線，切點為E，延長F₁E交拋物線y²=4cx于點P，則線段PE的長為（　　）

• A． 2a
• B． 3a
• C． $（{1+\sqrt{5}}）a$
• D． 4a

Answer 1

分析 先有雙曲線的性質和離心率得到c=$\sqrt{2}$a，再根據直線和圓相切，求出直線方程和拋物線方程聯立方程，求出點P的坐標，即可求出PE的長

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率為$\sqrt{2}$，且e²=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴a=b，c=$\sqrt{2}$a，
∴圓的半徑為OE=a，|OF₁|=$\sqrt{2}$a，
∴∠EF₁O=45°
∴直線PE的斜率為1，
∴直線PE的方程為y=x+$\sqrt{2}$a，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4\sqrt{2}ax}\\{y=x+\sqrt{2}a}\end{array}\right.$，
解得x=$\sqrt{2}$a，y=2$\sqrt{2}$a，
∴|PF₁|=$\sqrt{（\sqrt{2}a+\sqrt{2}a）^{2}+（2\sqrt{2}a）^{2}}$=4a，
∴|PE|=|PF₁|-|EF₁|=4a-a=3a
故答案為：3a

點評 本題考查雙曲線的性質，拋物線的性質、圓的性質、直線圓的位置關系，屬于中檔題．