Question

16．已知橢圓C以原點為中心，左焦點F的坐標是（-1，0），長軸長是短軸長的$\sqrt{2}$倍，直線l與橢圓C交于點A與B，且A、B都在x軸上方，滿足∠OFA+∠OFB=180°；
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）對于動直線l，是否存在一個定點，無論∠OFA如何變化，直線l總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），2a=$\sqrt{2}$•2b，即a=$\sqrt{2}$b，代入求得：a²=2，b²=1，即可求得橢圓C的標準方程；
（2）B關于x軸的對稱點B₁在直線AF上．設直線AF方程：y=k（x+1），代入橢圓方程，由韋達定理及直線的斜率公式，代入由x=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}×k（{x}_{1}+1）+{x}_{1}×k（{x}_{2}+1）}{k（{x}_{1}+1）+k（{x}_{2}+1）}$，此能證明直線l總經過定點M（-2，0）．

解答 解：（1）設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由題意可知：2a=$\sqrt{2}$•2b，即a=$\sqrt{2}$b，
由c=1，則a²=b²+c²=b²+1，
代入求得：a²=2，b²=1，
橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）存在一個定點M（-2，0），無論∠OFA如何變化，直線l總經過此定點
證明：由OFA+∠OFB=180°，則B關于x軸的對稱點B₁在直線AF上．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B₁（x₂，-y₂），
設直線AF方程：y=k（x+1），代入$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
得：（k²+$\frac{1}{2}$）x²+2k²x+k²-1=0，…（13分）
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，
由直線AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
AB的方程：y-y₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），
令y=0，得：x=x₁-y₁•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，
y₁=k（x₁+1），-y₂=k（x₂+1），
x=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}×k（{x}_{1}+1）+{x}_{1}×k（{x}_{2}+1）}{k（{x}_{1}+1）+k（{x}_{2}+1）}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=$\frac{2×\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}-\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}}{2-\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}}$=-2，
∴直線l總經過定點M（-2，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線總過定點的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用，考查計算能力，屬于中檔題．