Question

6．已知函數$f（x）=\frac{1}{2}-{cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$．
（1）求f（x）單調遞減區間；
（2）已知△ABC中，滿足sin²B+sin²C＞sinBsinC+sin²A，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡函數f（x）為正弦型函數，根據正弦函數的單調性求出f（x）的單調減區間；
（2）利用正弦定理求出A的取值范圍，再求f（A）的取值范圍即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}-{cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z；
∴f（x）的單調遞減區間是$[\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ]，k∈Z$；…（6分）
（2）△ABC中，滿足sin²B+sin²C＞sinBsinC+sin²A，
∴b²+c²＞bc+a²，
即b²+c²-a²＞bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$＞$\frac{1}{2}$，
∴0＜A＜$\frac{π}{3}$；
∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）＜1，
∴f（A）的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，1）．…（12分）

點評 本題考查了三角函數的化簡以及正弦定理的應用問題，是基礎題目．