Question

16．如圖，P-ABCD是棱長均為1的正四棱錐，頂點P在平面ABCD內的正投影為點E，點E在平面PAB內的正投影為點F，則 tan∠PEF=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 取AB中點G，連接EG，可證得平面PAB⊥平面PEG，過E作EF⊥PG，垂足為F，則EF⊥平面ABP，即F為E在平面PAB上的投影，然后求解直角三角形得答案．

解答 解：如圖，
取AB中點G，連接EG，則EG⊥AB，又PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AB，
∵PE∩EG=E，∴AB⊥平面PEG，則平面PAB⊥平面PEG，且平面PEG∩平面PAB于PG．
過E作EF⊥PG，垂足為F，則EF⊥平面ABP，即F為E在平面PAB上的投影．
在Rt△PEG與Rt△PFE中，可得∠PEF=∠PGE．
∵P-ABCD是棱長均為1的正四棱錐，∴EG=$\frac{1}{2}$，PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴tan∠PEF=$\frac{PE}{EG}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查線面角的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．