Question

8．已知x、y滿足曲線方程${x^2}+\frac{1}{y^2}=2$，則x²+y²的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 先求出y²的范圍，再令y²=t，t≥$\frac{1}{2}$，則f（t）=2+t-$\frac{1}{t}$，根據函數的單調性即可求出范圍．

解答 解：${x^2}+\frac{1}{y^2}=2$，則x²+y²=2-$\frac{1}{{y}^{2}}$+y²，
∵${x^2}+\frac{1}{y^2}=2$
∴y²≥$\frac{1}{2}$
設y²=t，t≥$\frac{1}{2}$，
則f（t）=2+t-$\frac{1}{t}$，
∴f′（t）=1+$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在[$\frac{1}{2}$，+∞）為增函數，
∴f（t）≥f（$\frac{1}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$-2=$\frac{1}{2}$，
故則x²+y²的取值范圍是為[$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案為：[$\frac{1}{2}$，+∞）

點評 本題考查了導數和函數的單調性的關系，屬于中檔題．