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13.已知$\overrightarrow m=(2\sqrt{3},1)$,$\overrightarrow n=({cos^2}\frac{A}{2},sinA)$,A、B、C是△ABC的內角;
(1)當$A=\frac{π}{2}$時,求$|\overrightarrow n|$的值;
(2)若$C=\frac{2π}{3}$,|AB|=3,當$\overrightarrow{m•}\overrightarrow n$取最大值時,求A的大小及邊BC的長.

分析 (1)由$A=\frac{π}{2}$即可求出向量$\overrightarrow{n}$的坐標,從而得出$|\overrightarrow{n}|$的值;
(2)進行數量積的坐標運算并化簡即可得出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2sin(A+\frac{π}{3})+\sqrt{3}$,從而看出A=$\frac{π}{6}$時,$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$取最大值,這樣在△ABC中,根據正弦定理即可求出邊BC的長.

解答 解:(1)$A=\frac{π}{2}$時,$\overrightarrow{n}=(\frac{1}{2},1)$;
∴$|\overrightarrow{n}|=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$;
(2)$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2\sqrt{3}co{s}^{2}\frac{A}{2}+sinA$
=$\sqrt{3}(1+cosA)+sinA$
=$2sin(A+\frac{π}{3})+\sqrt{3}$;
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$取最大值時,$A=\frac{π}{6}$;
又$C=\frac{2π}{3},|AB|=3$;
∴在△ABC中,由正弦定理得:$\frac{|AB|}{sinC}=\frac{|BC|}{sinA}$;
即$\frac{3}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{|BC|}{sin\frac{π}{6}}$;
∴$|BC|=\sqrt{3}$.

點評 考查三角函數求值,根據向量坐標求向量長度的方法,數量積的坐標運算,以及二倍角的余弦公式,兩角和的正弦公式,正弦定理.

練習冊系列答案
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