Question

13．已知$\overrightarrow m=（2\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow n=（{cos^2}\frac{A}{2}，sinA）$，A、B、C是△ABC的內角；
（1）當$A=\frac{π}{2}$時，求$|\overrightarrow n|$的值；
（2）若$C=\frac{2π}{3}$，|AB|=3，當$\overrightarrow{m•}\overrightarrow n$取最大值時，求A的大小及邊BC的長．

Answer 1

分析 （1）由$A=\frac{π}{2}$即可求出向量$\overrightarrow{n}$的坐標，從而得出$|\overrightarrow{n}|$的值；
（2）進行數量積的坐標運算并化簡即可得出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2sin（A+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，從而看出A=$\frac{π}{6}$時，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$取最大值，這樣在△ABC中，根據正弦定理即可求出邊BC的長．

解答 解：（1）$A=\frac{π}{2}$時，$\overrightarrow{n}=（\frac{1}{2}，1）$；
∴$|\overrightarrow{n}|=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2\sqrt{3}co{s}^{2}\frac{A}{2}+sinA$
=$\sqrt{3}（1+cosA）+sinA$
=$2sin（A+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$；
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$取最大值時，$A=\frac{π}{6}$；
又$C=\frac{2π}{3}，|AB|=3$；
∴在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{|AB|}{sinC}=\frac{|BC|}{sinA}$；
即$\frac{3}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{|BC|}{sin\frac{π}{6}}$；
∴$|BC|=\sqrt{3}$．

點評 考查三角函數求值，根據向量坐標求向量長度的方法，數量積的坐標運算，以及二倍角的余弦公式，兩角和的正弦公式，正弦定理．