Question

5．過點（2，0）引直線l與曲線$y=\sqrt{2-{x^2}}$相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $-\sqrt{3}$
• C． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 當△AOB面積取最大值時，OA⊥OB，圓心O（0，0）到直線直線l的距離為1，由此能求出直線l的斜率．

解答 解：當△AOB面積取最大值時，OA⊥OB，
∵曲線$y=\sqrt{2-{x^2}}$相交于A，B兩點，O為坐標原點，
∴圓心O（0，0），半徑r=$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴圓心O（0，0）到直線直線l的距離為1，
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=2，不合題意；
當直線l的斜率存在時，直線l的方程為y=k（x-2），
圓心（0，0）到直線l的距離d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵k＜0，∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系以及點到直線的距離公式的運用問題，解題的關鍵是根據△AOB的面積取到最大值時OA⊥OB，是中檔題．