Question

15．已知函數f（x）=x²-ax+lnx（a∈R）．
（1）若函數f（x）在x=1處取得極小值，求函數f（x）的極大值；
（2）若x∈（0，e]時，函數f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x²-ax+lnx（a∈R）在x=1時取得極值，可得f′（1）=0，解出a即可得出．
（2）x∈（0，e]時，函數f（x）≤1恒成立，可得a≥x+$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{x}$=h（x）．利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-ax+lnx（a∈R）在x=1時取得極值，f′（x）=2x-a+$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=0，
∴2-a+1=0，
解得a=3，經過驗證滿足條件．
（2）∵x∈（0，e]時，函數f（x）≤1恒成立，∴a≥x+$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{x}$=h（x）．
h′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
∴函數h（x）在x∈（0，e]單調遞增，
∴x=e時，h（x）取得最大值，h（e）=e+$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{e}$=e．
∴a≥e．

點評 本題考查了利用導數研究函數的極值與最值，考查了等價轉化方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．