Question

4．已知橢圓中心在原點，焦點在y軸上，且過點A（0，1），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，設直線方程為y=x+m．
（Ⅰ）求橢圓標準方程
（Ⅱ）當m為何值時，直線與橢圓有公共點？
（Ⅲ）若直線被橢圓截得的弦長為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求直線的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，求出a，b，c的值，可得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）將直線的方程y=x+m與橢圓的方程4x²+y²=1聯立，得到5x²+2mx+m²-1=0，利用△=-16m²+20≥0即可求得m的取值范圍；
（Ⅲ）利用兩點間的距離公式，再借助于韋達定理即可得到：兩交點AB之間的距離|AB|=$\sqrt{2}$ $\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，從而可求得m的值．

解答 （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）∵橢圓中心在原點，焦點在y軸上，且過點A（0，1），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴b=$\frac{1}{2}$，
∴橢圓的標準方程為：${y}^{2}+\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$，即4x²+y²=1：
（Ⅱ）把直線y=x+m代入橢圓方程得：4x²+（x+m）²=1
即：5x²+2mx+m²-1=0，
△=（2m）²-4×5×（m²-1）=-16m²+20≥0
解得：-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤m≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（Ⅲ）設該直線與橢圓相交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程5x²+2mx+m²-1=0的兩根，
由韋達定理可得：x₁+x₂=-$\frac{2m}{5}$，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-1}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$ $\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2[（-\frac{2m}{5}）^{2}-4×\frac{{m}^{2}-1}{5}）}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$；
∴m=0．
∴直線的方程為y=x．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系與弦長問題，難點在于弦長公式的靈活應用，屬于中檔題．