Question

13．直線$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1相交于A，B兩點，該橢圓上點P使得△PAB面積為2，這樣的點P共有（　　）個．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，求得A和B點坐標，求得丨AB丨=5，△PAB面積S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=2，解得：d=$\frac{4}{5}$，設與直線平行的直線為3x+4y+m=0，與橢圓相切，代入橢圓方程，由△=0，即可求得m的值，根據點到直線的距離公式可知：這樣到直線AB的距離為$\frac{4}{5}$的直線有兩條，這兩條直線與橢圓都相交，分別有兩個交點，共4個．

解答 解：由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，
設A（4，0），B（0，3），由條件可知：
若點P到直線AB的距離為d，
那么△PAB面積S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=2，解得：d=$\frac{4}{5}$，
設與直線平行的直線為3x+4y+m=0，與橢圓相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{3x+4y+m=0}\end{array}\right.$，整理得：18x²+6mx+m²-16×9=0，
由△=0，即36m²-4×18（m²-16×9）=0，整理得：m²=288，解得：m=±12$\sqrt{2}$，
∴切線方程l₁：3x+4y+12$\sqrt{2}$=0，切線方程l₂：3x+4y-12$\sqrt{2}$=0，
由直線l₁與直線$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1的距離d₁=$\frac{丨12\sqrt{2}+12丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{12}{5}$（$\sqrt{2}$+1）＞$\frac{4}{5}$，
同理直線l₂與直線$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1的距離d₂=$\frac{丨12\sqrt{2}-12丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{4}}}$=$\frac{12}{5}$（$\sqrt{2}$-1）＞$\frac{4}{5}$，
∴這樣到直線AB的距離為$\frac{4}{5}$的直線有兩條，這兩條直線與橢圓都相交，分別有兩個交點，共4個，
故選D．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查直線與橢圓的位置關系的應用，考查點到直線的距離公式，三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題，