Question

14．已知函數f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1在x=1處有極值m，n∈R
（Ⅰ）求m與n的關系式；
（Ⅱ）當m=-2時，求f（x）的單調區間及極小值點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=1是函數f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一個極值點，求導，則f′（1）=0，求得m與n的關系表達式．
（Ⅱ）求函數的導數，利用函數的導數和極值之間的關系求函數的極小值；

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n，
因為x=1是f（x）的一個極值點，
所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，
所以n=3m+6，
m與n的關系式為：n=3m+6．
（Ⅱ）m=-2，則n=0，函數f（x）=，-2x³+3x²+1，函數的導數為f′（x）=-6x²+6x．
令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=1．
由f′（x）＞0，得0＜x＜1，即f（x）的單調遞增區間（0，1），
由f′（x）＜0，得x＜0或x＞1，所以函數單調遞減區間（-∞，0），（1，+∞）．
∴f（x）的極小值點x=0，極小值為：f（0）=1．

點評 考查利用導數研究函數的單調區間和極值問題，要求熟練掌握導數的應用．函數的最值的求法，考查計算能力．