Question

9．已知P為橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$上的任意一點，O為坐標原點，M在線段OP上，且$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$
（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）若A（-4，0），B（0，4），C為軌跡E上的動點，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設出M，P的坐標，由向量等式把P的坐標用M的坐標表示，代入橢圓方程整理可得點M的軌跡E的方程；
（2）寫出直線AB的截距式方程，再設出與直線AB平行的直線l的方程為x-y+m=0，與橢圓方程聯立，利用判別式等于0求得m值，結合三角形面積公式得答案．

解答 解：（1）設M（x，y），P（x₀，y₀），
由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$，得$（{x，y}）=\frac{1}{3}（{{x_0}，{y_0}}）⇒\left\{\begin{array}{l}{x_0}=3x\\{y_0}=3y\end{array}\right.$，
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，
∴$\frac{{{x_0}^2}}{36}+\frac{{{y_0}^2}}{9}=1$，即$\frac{9{x}^{2}}{36}+\frac{9{y}^{2}}{9}=1$，則$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∴點M的軌跡E的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由題意可得直線AB的方程為x-y+4=0，
設與直線AB平行的直線l的方程為x-y+m=0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+m=0}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得5x²+8mx+4m²-4=0．
令△=0，得64m²-4×5×（4m²-4）=0，解得$m=±\frac{5}{4}$，
∵△ABC的面積$S=\frac{1}{2}\sqrt{{4^2}+{4^2}}\frac{{|{m-4}|}}{{\sqrt{2}}}=2|{m-4}|$，
∴當$m=-\frac{5}{4}$時，△ABC的面積有最大值為$\frac{21}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，是中檔題．