Question

20．設G為△ABC的重心，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若35a$\overrightarrow{GA}$+21b$\overrightarrow{GB}$+15c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，則sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由G為三角形ABC重心，得到$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，表示出$\overrightarrow{GC}$，代入已知等式中，整理后利用平面向量基本定理用c表示出a與b，設出c，得到a與b，根據余弦定理表示出cos∠ACB，將三邊長代入求出cos∠ACB的值，利用同角三角函數間的基本關系即可求出sin∠ACB的值

解答 解：∵G為△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，即$\overrightarrow{GC}$=-$\overrightarrow{GA}$-$\overrightarrow{GB}$，
代入35a$\overrightarrow{GA}$+21b$\overrightarrow{GB}$+15c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$整理得：（35a-15c）$\overrightarrow{GA}$+（21b-15c）$\overrightarrow{GB}$=0，
∵$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共線，
∴由平面向量基本定理得：35a-15c=0，21b-15c=0，
即a=$\frac{3}{7}$ c，b=$\frac{5}{7}$ c，
令c=7t，則a=3t，b=5t，
根據余弦定理得：cos∠ACB=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（9+25-49）{t}^{2}}{30{t}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∵∠ACB為三角形內角，
∴sin∠ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點評 此題考查了余弦定理，平面向量基本定理，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．