Question

10．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PD⊥底面ABCD，且$PD=CD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}BC$，過棱PC的中點AB₁⊥PQ，作EF⊥PB交PB于點PQD，連接DE，DF，BD，BE．
（1）證明：PB⊥平面DEF．
（2）求異面直線與BE所成角的余弦值及二面角B-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出PD⊥BC，BC⊥DE，DE⊥PC，從而DE⊥平面PBC，進而DE⊥PB，再由EF⊥PB，能證明PB⊥平面DEF．
（2）推導出∠EBC就是異面直線AD與BE所成的角，∠FEB就是二面角B-DE-F的平面角，由此能求出二面角B-DE-F的余弦值．

解答 證明：（1）因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
又BC⊥CD，且PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，…（2分）
而DE?平面PCD，所以BC⊥DE．
又因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC．
而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，…（4分）
而PB?平面PBC，所以DE⊥PB，
又EF⊥PB，DE∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．…（6分）
解：（2）不妨設PD=CD=$\sqrt{2}$，則PC=BC=2，
∴EC=1，BE=$\sqrt{5}$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（8分）
∵AD∥BC，∴∠EBC就是異面直線AD與BE所成的角．
在Rt△BCE中，$cos∠EBC=\frac{BC}{BE}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
故異面直線AD與BE所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（10分）
由（1）知DE⊥平面PBC．從而DE⊥EF，DE⊥EB，
∴∠FEB就是二面角B-DE-F的平面角．
在Rt△BEF中，$cos∠FEB=\frac{EF}{BE}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
故二面角B-DE-F的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．