Question

6．（理）已知點P（-4，4），曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），若Q是曲線C上的動點，則線段PQ的中點M到直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t為參數）距離的最小值為$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．．

Answer 1

分析 設Q（8cosθ，3sinθ）（0≤φ＜2π），則M（-2+4cosθ，2+$\frac{3}{2}$sinθ），直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t為參數）的普通方程為x-2y-7=0，利用點到直線的距離公式可得：點M到直線l的距離，利用三角函數的單調性與極值即可得出．

解答 解：設Q（8cosθ，3sinθ）（0≤φ＜2π），則M（-2+4cosθ，2+$\frac{3}{2}$sinθ），
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t為參數）的普通方程為x-2y-7=0，
則點M到直線l的距離為d=$\frac{|-2+4cosθ-4-3sinθ-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ-α）+13|}{\sqrt{5}}$
∴點M到直線l的距離最小值為$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
故答案為$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了橢圓的參數方程及其應用、中點坐標公式、點到直線的距離公式、三角函數的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．