Question

6．已知函數f（x）=4sinx•sin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）+cos2x
（1）設w＞0，且w為常數，若函數y=f（wx）在區間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上是增函數，求w的取值范圍；
（2）設集合A={x|$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$}，B={x||f（x）-m|＜2}，若A∪B=B，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、誘導公式即可得出f（x）=2sinx+1．再利用三角函數的單調性即可得出．
（2）|f（x）-m|＜2，可得：f（x）-2＜m＜f（x）+2．由A∪B=B，可得A⊆B，即當$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$時，f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立，可得[f（x）-2]_max＜m＜[f（x）+2]_min．

解答 解：（1）函數$f（x）=4sinx•{sin^2}（\frac{π}{4}+\frac{x}{2}）+cos2x$=4sinx$•\frac{1-cos（\frac{π}{2}+x）}{2}$+cos2x=2sinx（1+sinx）+cos2x=2sinx+1．
∵函數y=f（wx）=2sin2ωx+1在區間$[-\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}]$上是增函數，
∴$[-\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}]$⊆$[-\frac{π}{2ω}，\frac{π}{2ω}]$，解得ω∈$（0，\frac{3}{4}]$．
（2）|f（x）-m|＜2，可得：f（x）-2＜m＜f（x）+2．∵A∪B=B，∴A⊆B，即當$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$時，f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立，∴[f（x）-2]_max＜m＜[f（x）+2]_min．
∵$f（x）_{min}=f（\frac{π}{6}）$=2，f（x）_max=$f（\frac{π}{2}）$=3．
故m∈（1，4）．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質、集合的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．