Question

1．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₂=3，S₉=81．
（Ⅰ）求通項a_n；
（Ⅱ）記數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項和為T_n，數列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和為U_n，求證：U_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數列的性質與求和公式可求得其公差d與a₂，從而可求得通項a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得S_n=$\frac{n{（a}_{1}{+a}_{n}）}{2}$=n²，故$\frac{{S}_{n}}{n}$=n，繼而得其前n項和T_n，利用裂項法可求得數列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和為U_n，從而可證U_n＜2．

解答 解：（Ⅰ）依題意，由等差數列的性質可得，S₉=9a₅=81，故a₅=9，----------（2分）
又a₂=3，
∴d=$\frac{{a}_{5}{-a}_{2}}{5-2}$=2，----------------（3分）
所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1；------------（5分）
（Ⅱ）證明：由a_n=2n-1得：S_n=$\frac{n{（a}_{1}{+a}_{n}）}{2}$=n²，$\frac{{S}_{n}}{n}$=n，T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，-----------（8分）
$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．---------（9分）
U_n=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2．----------（12分）

點評 本題考查數列的求和，考查等差數列的通項公式與求和公式的應用，突出裂項法求和的運用，屬于中檔題．