Question

15．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$，若將f（x）的圖象先向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移$\sqrt{3}$個單位，所得函數g（x）為奇函數．
（1）求f（x）的解析式；       
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）由周期求得ω，由函數g（x）為奇函數求得φ和b的值，從而得到函數f（x）的解析式．
（2）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數的增區間．同理，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數的減區間．

解答 解：（1）∵$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）-b．
又g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+φ]-b+$\sqrt{3}$為奇函數，且0＜φ＜π，則φ=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
故f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（2）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，（k∈Z），
故函數的增區間為[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]（k∈Z）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得  $\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+kπ，（k∈Z），
故函數的減區間為[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]（k∈Z）．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數的單調性，不等式的性質應用，函數的奇偶性，函數的恒成立問題，屬于中檔題．