Question

16．A、B、C是△ABC的三個內角，且C=2B．
（1）求證：sinA=3sinB-4sin³B；
（2）求$\frac{AB+BC}{AC}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角形內角和定理及誘導公式得到sinA=sin（B+C），把C=2B代入并利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，再利用同角三角函數間基本關系整理后，去括號合并即可得證；
（2）確定出C與B的范圍，原式利用正弦定理化簡，把C=2B，以及sinA=3sinB-4sin³B代入，整理后利用二次函數的性質及余弦函數的值域求出范圍即可．

解答 解：（1）∵C=2B，
∴sinA=sin（B+C）=sin（2B+B）
=sin2BcosB+cos2BsinB
=2sinBcos²B+（1-2sin²B）sinB
=2sinB（1-sin²B）+（1-2sin²B）sinB
=2sinB-2sin³B+sinB-2sin³B
=3sinB-4sin³B，
則sinA=3sinB-4sin³B；
（2）由C=2B，可得A+3B=π，即 0＜B＜$\frac{π}{3}$，可得：cosB∈（$\frac{1}{2}$，1），
由正弦定理化簡得：$\frac{AB+BC}{AC}$=$\frac{c+a}{b}$=$\frac{sinC+sinA}{sinB}$=$\frac{sin2B+3sinB-4sin3B}{sinB}$=2cosB-4sin²B+3=2cosB-4（1-cos²B）+3=4（cosB+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{5}{4}$∈（1，5）．
則 $\frac{AB+BC}{AC}$的范圍為（1，5）．

點評 此題考查了正弦定理，誘導公式，同角三角函數間的基本關系，以及二次函數的性質，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵，考查了轉化思想和計算能力，屬于中檔題．