Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx圖象在點（e，f（e））（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若k∈Z，且f（x）-k（x-1）＞0對任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（e）=3，求出a的值即可；
（2）問題等價于k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$對任意x＞1恒成立，令g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，
∴a+lne+1=3，∴a=1；…（5分）
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
等價于k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$對任意x＞1恒成立，
令g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，則g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-2，x＞1，
則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)增加，
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一實數(shù)根x₀，滿足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0
當x∈（1，x₀）時，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；
當x∈（x₀，+∞）時，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1{+x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4），
∴k＜g（x）_min=x₀∈（3，4），
∴整數(shù)k的最大值為3．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．