Question

10．某高校在舉行藝術(shù)類高考招生考試時，對100個考生進(jìn)行了一項專業(yè)水平考試，考試成績滿分為100分，成績出來后，老師對每個成績段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，丙得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求a的值，并從頻率分布直方圖中求出這些成績的中位數(shù)；
（2）為了能從分了解考生情況，對考試成績落在[70，90）內(nèi)的考生采用分層抽樣的方法抽取5名考生．
（i）求在[70，80）與[80，90）內(nèi)各抽取多少名考生；
（ii）如果從這5名中選出兩人進(jìn)行一段表演，求恰有一名考生來自[80，90）組的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求出a=0.008，由頻率分布直方圖得[40，70）的頻率為0.32，[70，80）的頻率為0.36，由此能求出這些成績的中位數(shù)．
（2）（i）由頻率分布直方圖得[70，80）的頻率為0.36，[80，90）的頻率為0.24，對考試成績落在[70，90）內(nèi)的考生采用分層抽樣的方法抽取5名考生，能求出在[70，80）與[80，90）內(nèi)各抽取多少名考生．
（ii）從這5名中選出兩人進(jìn)行一段表演，基本事件總數(shù)n=${C}_{5}^{2}$=10，恰有一名考生來自[80，90）組包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$=6，由此能求出恰有一名考生來自[80，90）組的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：
（0.004+2a+0.02+0.024+0.036）×10=1，
解得a=0.008，
由頻率分布直方圖得[40，70）的頻率為（0.004+0.008+0.02）×10=0.32，
[70，80）的頻率為0.036×10=0.36，
∴這些成績的中位數(shù)為：70+$\frac{0.5-0.32}{0.36}×10$=75．
（2）（i）由頻率分布直方圖得[70，80）的頻率為：0.036×10=0.36，
[80，90）的頻率為：0.024×10=0.24，
對考試成績落在[70，90）內(nèi)的考生采用分層抽樣的方法抽取5名考生，
則在[70，80）內(nèi)應(yīng)抽取：5×$\frac{0.36}{0.36+0.24}$=3人，
在[80，90）內(nèi)應(yīng)抽取：5×$\frac{0.24}{0.36+0.24}$=2人．
（ii）從這5名中選出兩人進(jìn)行一段表演，
基本事件總數(shù)n=${C}_{5}^{2}$=10，
恰有一名考生來自[80，90）組包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$=6，
恰有一名考生來自[80，90）組的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查頻率分直方圖的性質(zhì)、分層抽樣、等可能事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．