Question

5．如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長均為a，D是側棱CC₁的中點．
（1）求證：平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）求平面AB₁D與平面ABC所成二面角（銳角）的大小．

Answer 1

分析 （1）取AB₁的中點E，AB的中點F．連接DE、EF、CF．證明DE的平行線CF垂直平面ABB₁A₁，內的相交直線AB，BB₁，即可證明平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）建立空間直角坐標系，求平面AB₁D的一個法向量，以及平面ABC的一個法向量，利用向量的數量積求平面AB₁D與平面ABC所成二面角（銳角）的大小．

解答 證明：（1）取AB₁的中點E，AB的中點F．
連接DE、EF、CF．
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長均為a，D是側棱CC₁的中點，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁，CD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁．
∴四邊形CDEF為平行四邊形，∴DE∥CF．
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
△ABC為正三角形．CF?平面ABC，
∴CF⊥BB₁，CF⊥AB，而AB∩BB₁=B，∴CF⊥平面ABB₁A₁，
又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB₁A₁．
又DE?平面AB₁D．所以平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．
解：（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0），C（0，a，0），D（0，a，$\frac{a}{2}$）B₁（0，0，a），B（0，0，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，a），$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{\sqrt{3}a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），
設$\overrightarrow{n}$=（1，x，y）為平面AB₁D的一個法向量．
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-\frac{\sqrt{3}a}{2}-\frac{ax}{2}+ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-\frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{ax}{2}+\frac{ay}{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
設平面AB₁D與平面ABC所成二面角（銳角）為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{8}{3}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$．
∴平面AB₁D與平面ABC所成二面角（銳角）的大小為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，計算能力，是中檔題．證明平面與平面垂直主要轉化為證明一個平面內的一條直線與另一個平面垂直即可，而證明直線與平面垂直，只需證明此直線與平面圖內的兩條相交直線垂直；求二面角的大小新教材主要要求學生掌握用空間向量的方法來求：第一步建立適當的空間直角坐標系，并設出點的坐標；第二步分別求出二面角的兩個面的一個法向量；第三步代公式$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$即可求得，注意運算的準確性．