Question

5．已知正項等比數列{a_n}滿足a₅+a₄+a₃-a₂=5，則a₆+a₇的最小值為（　　）

• A． 32
• B． 10+10$\sqrt{2}$
• C． 20
• D． 28

Answer 1

分析 可判數列{a_n+a_n+1}也是各項均為正的等比數列，設數列{a_n+a_n+1}的公比為x，a₂+a₃=a，則x∈（1，+∞），a₄+a₅=ax，結合已知可得a=$\frac{5}{x-1}$，代入可得y=a₆+a₇的表達式，x∈（1，+∞），由導數求函數的最值即可．

解答 解：∵數列{a_n}是各項均為正的等比數列，
∴數列{a_n+a_n+1}也是各項均為正的等比數列，
設數列{a_n+a_n+1}的公比為x，a₂+a₃=a，
則x∈（1，+∞），a₅+a₄=ax，
∴有a₅+a₄-a₃-a₂=ax-a=5，即a=$\frac{5}{x-1}$，
∴y=a₆+a₇=ax²=$\frac{5{x}^{2}}{x-1}$，x∈（1，+∞），
求導數可得y′=$\frac{5x（x-2）^{2}}{（x-1）^{2}}$，令y′＞0可得x＞2，
故函數在（1，2）單調遞減，（2，+∞）單調遞增，
∴當x=2時，y=a₆+a₇取最小值：20．
故選：C．

點評 本題考查等比數列的性質，涉及導數的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬中檔題．