Question

5．下面圖形都是由小正三角形構成的，設第個圖形中的黑點總數為f（n）．

（1）求f（2），f（3），f（4），f（5）出的值；
（2）找出f（n）與f（n+1）的關系，并求出f（n）的表達式．

Answer 1

分析 （1）由題意有f（1）=3，借助三角形能求出f（2），f（3），f（4），f（5）的值．
（2）f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，從而f（n+1）-f（n）=6n+3，由此利用累加法能求出f（n）的表達式．

解答 解：（1）由題意有f（1）=3，
f（2）=f（1）+3+3×2=12，
f（3）=f（2）+3+3×4=27，
f（4）=f（3）+3+3×6=48，
f（5）=f（4）+3+3×8=75．…（6分）
（2）由題意及（Ⅰ）知，f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，
即f（n+1）-f（n）=6n+3，…（8分）
故f（2）-f（1）=6×1+3，
f（3）-f（2）=6×2+3，f（4）-f（3）=6×3+3，
…
f（n）-f（n-1）=6（n-1）+3，n≥2．…（10分）
將上面（n-1）個式子相加，得：
$f（n）-f（1）=6[1+2+3+…+（n-1）]+3（n-1）=6×\frac{（1+n-1）（n-1）}{2}+3（n-1）=3{n^2}-3$，
又f（1）=3，所以f（n）=3n²，n≥2，
而當n=1時，f（1）=3也滿足上式，
故f（n）=3n²，n∈N^*．…（12分）

點評 本題考查推理能力，考查進行簡單的合情推理，考查學生分析解決問題的能力，考查累加法的求解思路與方法，是中檔題．