Question

13．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直線l過點(diǎn)（-1，0）交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意得b=1，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=1+{c}^{2}}\end{array}\right.$得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my-1，將直線方程代入橢圓方程，消去x，根據(jù)韋達(dá)定理代入三角形面積公式即可求得△AOB的面積，再換元配方即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得b=1，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=1+{c}^{2}}\end{array}\right.$得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）依題意設(shè)直線l的方程為x=my-1，
聯(lián)立橢圓方程，得（m²+3）y²-2my-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{2}{{m}^{2}+3}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}×1×$|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{3{m}^{2}+6}{（{m}^{2}+3）^{3}}}$，
設(shè)m²+3=t（t≥3），則S_△AOB=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵t≥3，∴0＜$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{3}$，
∴當(dāng)$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{3}$，即t=3時(shí)，△OAB面積取得最大值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，此時(shí)m=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系、三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．