Question

18．若當x∈（-∞，-1]時，不等式（m²-m）4^x-2^x-1＜0恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． （-2，3）
• B． （-3，3）
• C． （-2，2）
• D． （-3，4）

Answer 1

分析 分離參數得m-m²＞-（$\frac{1}{2}$）x-（$\frac{1}{4}$）x，令g（x）=-（$\frac{1}{2}$）x-（$\frac{1}{4}$）x，設t=（$\frac{1}{2}$）x，（t≥2），則函數變為y=-t²-t，其對稱軸為t=-$\frac{1}{2}$，由此能求出實數m的取值范圍．

解答 解：∵當x∈（-∞，-1]時，不等式（m²-m）4^x-2^x-1＜0恒成立，
∴分離參數得m-m²＞-（$\frac{1}{2}$）x-（$\frac{1}{4}$）x，令g（x）=-（$\frac{1}{2}$）x-（$\frac{1}{4}$）x，
設t=（$\frac{1}{2}$）^x，（t≥2），則函數變為y=-t²-t，其對稱軸為t=-$\frac{1}{2}$
∴y=-t²-t在[2，+∞）上是減函數
∴t=2時，函數有最大值-6，
∴m-m²＞-6，解得-2＜m＜3，
故實數m的取值范圍是（-2，3）．
故選：A．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法和換元法的合理運用．