Question

8．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤m\\{x^2}-2mx+4m，x＞m\end{array}$，其中m＞0，若對任意實數b，使得關于x的方程f（x）=b至多有兩個不同的根，則m的取值范圍是（0，3]．

Answer 1

分析 作出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤m\\{x^2}-2mx+4m，x＞m\end{array}$的圖象，依題意，可得4m-m²≥m（m＞0），解之即可．

解答 解：當m＞0時，函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤m\\{x^2}-2mx+4m，x＞m\end{array}$的圖象如下：
∵x＞m時，f（x）=x²-2mx+4m=（x-m）²+4m-m²＞4m-m²，
∴要使得關于x的方程f（x）=b至多有兩個不同的根，
必須4m-m²≥m（m＞0），
即m²≤3m（m＞0），
解得0＜m≤3，
∴m的取值范圍是：（0，3]，
故答案為：（0，3]．

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷，數形結合思想的運用是關鍵，分析得到4m-m²≥m（m＞0）是難點，屬于中檔題．