Question

2．已知函數f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）求滿足不等式f（x）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）只需解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$即可得出f（x）的定義域；
（2）求f（-x）即可得到f（-x）=-f（x），從而得出f（x）為奇函數；
（3）討論a：a＞1，和0＜a＜1，根據f（x）的定義域及對數函數的單調性即可求得每種情況下原不等式的解．

解答 解：（1）解$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
∴f（x）的定義域為（-1，1）；
（2）f（-x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=-f（x）；
∴f（x）為奇函數；
（3）由f（x）＜0得，log_a（1-x）＜log_a（1+x）；
①若a＞1，則：
$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1-x＜1+x}\end{array}\right.$；
∴0＜x＜1；
即f（x）＜0的x的取值范圍為（0，1）；
②若0＜a＜1，則：
$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1-x＞1+x}\end{array}\right.$；
∴-1＜x＜0；
即f（x）＜0的x的取值范圍為（-1，0）．

點評 本題考查函數定義域的概念及求法，奇函數的定義及判斷函數奇偶性的方法，對數函數的單調性．