Question

1．已知橢圓的焦點坐標是F₁（-1，0），F₂（1，0），過點F₂垂直于長軸的直線交橢圓與P，Q兩點，且|PQ|=3．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）已知A（2，0），B（0，$\sqrt{3}$），C為橢圓上在第一象限的一點，O為坐標原點，求四邊形OACB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求得c，結合橢圓通徑及隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設C（x_C，y_C），可得$\left\{\begin{array}{l}{x_C}=2cosθ\\{y_C}=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，把四邊形OACB面積轉化為關于θ的函數求解．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，由焦點的坐標得：c=1，
由|PQ|=3，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}=3$，又a²=b²+c²，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
故橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）設C（x_C，y_C），則${S_{OACB}}={S_{△OAC}}+{S_{△COB}}=\frac{1}{2}•2•{y_C}+\frac{1}{2}\sqrt{3}{x_C}$，
設$\left\{\begin{array}{l}{x_C}=2cosθ\\{y_C}=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴${S_{OACB}}=\sqrt{3}（cosθ+sinθ）=\sqrt{6}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$θ+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
∴當$θ=\frac{π}{4}$取最大值$\sqrt{6}$，
此時，${x_C}=2cosθ=\sqrt{2}$，${y_C}=\sqrt{3}sinθ=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，C點坐標為$（2，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$．
∴四邊形OACB面積的最大值為$\sqrt{6}$，C點坐標為$（2，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓參數方程的應用，訓練了三角函數最值的求法，是中檔題．