Question

9．已知函數f（x）=2ax³+3，g（x）=3x²+2，若關于x的方程f（x）=g（x）有唯一解x₀，且x₀∈（0，+∞），則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-l，0）
• C． （0，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 根據2ax³-3x²+1=0（*），通過討論a的范圍，結合函數的單調性，求出a的范圍即可．

解答 解：結合題意，2ax³+3=3x²+2，
故2ax³-3x²+1=0（*），
若a=0，則（*）可化為：-3x²+1=0，
該方程有2解，不合題意，舍去；
若a＞0，令h（x）=2ax³-3x²+1，
故h′（x）=6ax（x-$\frac{1}{a}$），
得函數h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（-∞，0），（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，
可知極大值是h（0）=1，
而h（x）還存在1個小于0的零點，不合題意，舍去，
若a＜0，可知函數h（x）在（$\frac{1}{a}$，0）遞增，在（-∞，$\frac{1}{a}$），（0，+∞）遞減，
若要零點唯一，
則h（$\frac{1}{a}$）＞0，即2a${（\frac{1}{a}）}^{3}$-3${（\frac{1}{a}）}^{3}$+1＞0，
∵a＜0，解得：a＜-1，
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性、零點問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．