Question

4．設橢圓短軸的一點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓長軸端點的最短距離為$\sqrt{3}$，則焦點在y軸上的橢圓方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$或$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1

Answer 1

分析 由焦點在y軸上設橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由題意可知a=2c，且a-c=$\sqrt{3}$，即可求得a和c，根據(jù)b²=a²-c²，求得橢圓方程．

解答 解：設橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
有題意可知：a=2c，且a-c=$\sqrt{3}$，
解的：a=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{3}$，
有b²=a²-c²=12-3=9，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
故選：D．

點評 本題考查橢圓的標準方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查正三角形的性質(zhì)，屬于基礎題．