Question

14．設向量$\overrightarrow{\overrightarrow{a}}$=（λ+2，λ²-$\sqrt{3}$cos2a），向量$\overrightarrow{b}$=（m，$\frac{m}{2}$+sinacosa，其中λ，m，α為實數．若向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，則$\frac{λ}{m}$的取值范圍為（　　）

• A． [-6，1]
• B． [-3，3]
• C． [1，7]
• D． [2，8）

Answer 1

分析 根據向量相等的定義得出λ+2=2m①，且λ²-$\sqrt{3}$cos2α=m+2sinαcosα②；
設$\frac{λ}{m}$=k，代入①②化簡得出關于k的方程2sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{{4k}^{2}}{{（2-k）}^{2}}$-$\frac{2}{2-k}$；
利用三角函數的有界性列出關于k的不等式，求出解集即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（λ+2，λ²-$\sqrt{3}$cos2a），向量$\overrightarrow{b}$=（m，$\frac{m}{2}$+sinacosa），$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，
∴λ+2=2m①，
且λ²-$\sqrt{3}$cos2α=m+2sinαcosα②；
設$\frac{λ}{m}$=k 則λ=mk，
代入①②得：
mk+2=2m，即m=$\frac{2}{2-k}$③；
$\sqrt{3}$cos2α+sin2α=m²k²-m，
即2sin（2α+$\frac{π}{3}$）=m²k²-m④；
③代入④得：2sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{{4k}^{2}}{{（2-k）}^{2}}$-$\frac{2}{2-k}$；
又∵-1≤sin（2α+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-2≤2sin（2α+$\frac{π}{3}$）≤2，
∴-2≤$\frac{{4k}^{2}}{{（2-k）}^{2}}$-$\frac{2}{2-k}$≤2，
即-2≤$\frac{{4k}^{2}+2k-4}{{（2-k）}^{2}}$≤2；
∴-（2-k）²≤2k²+k-2≤（2-k）²；
由2k²+k-2≤（2-k）²，
解得-6≤k≤1；
由-（2-k）²≤2k²+k-2，
解得k∈R；
綜上：-6≤k≤1；
即$\frac{λ}{m}$的取值范圍是[-6，1]．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的應用問題，也考查了不等式解法與應用問題，是綜合性題目．