Question

6．已知$\overrightarrow a$=（cos$\frac{3}{2}$x，-sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow b$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．若函數f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-$\frac{1}{2}$λ|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|的最小值為-$\frac{3}{2}$，求實數λ的值．

Answer 1

分析 根據題意，求出$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$與函數|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|的表達式，寫出函數f（x）解析式，討論λ的值，計算f（x）的最小值為$-\frac{3}{2}$時對應的λ值．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（cos$\frac{3}{2}$x，-sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow b$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），
∴$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=1$，
$\overrightarrow a•\overrightarrow b=cos\frac{3}{2}x•cos\frac{3}{2}x-sin\frac{3}{2}x•sin\frac{x}{2}=cos2x$；
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{{{（\overrightarrow a+\overrightarrow b）}^2}}=\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}+{{\overrightarrow b}^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b}=\sqrt{2+2cos2x}=\sqrt{4{{cos}^2}x}=2|{cosx}|$；
又∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴cosx∈[0，1]，
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=2cosx$；
∴$f（x）=cos2x-λcosx=2{cos^2}x-λcosx-1=2{（cosx-\frac{λ}{4}）^2}-（\frac{λ^2}{8}+1）$；
①當$\frac{λ}{4}＜0$，即λ＜0時，cosx=0，f（x）取得最小值，
并且f（x）的最小值等于-1，不等于$-\frac{3}{2}$，不合題意，舍掉；
②當$0≤\frac{λ}{4}≤1$，即0≤λ≤4時，$cosx=\frac{λ}{4}$，f（x）取得最小值，
并且f（x）最小值等于$-\frac{λ^2}{8}-1=-\frac{3}{2}$，解得λ=2；
③當$\frac{λ}{4}＞1$，即λ＞4時，cosx=1，f（x）取得最小值，
并且f（x）最小值等于$1-λ=-\frac{3}{2}$，解得$λ=\frac{5}{2}$，不滿足λ＞4，舍掉；
綜上所述，λ=2．

點評 本題考查了平面向量的數量積與模長公式的應用問題，也考查了三角函數的最值問題，是綜合性題目．