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9.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x+2)=f(x),若f(x)滿足:
①x∈[0,2)時,f(x)=a-|x-b|,
②f(x)是定義在R上的周期函數(shù),
③存在m使得f(x+m)=-f(m-x)
則a+b的值為$\frac{3}{2}$.

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系,判斷函數(shù)的對稱性,利用對稱性建立方程進(jìn)行求解即可.

解答 解:∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x+2)=f(x),
∴當(dāng)x≥0時,f(x+2)=f(x)=f(-x),即此時函數(shù)關(guān)于x=1
∵x∈[0,2)時,f(x)=a-|x-b|,
∴對稱軸x=b,則b=1,則f(x)=a-|x-1|,
若存在m使得f(x+m)=-f(m-x),
則f(x+m)=-f(m-x)=-f(x-m),
即f(x+2m)=-f(x),
則f(x+4m)=-f(x+2m)=f(x),
∵f(x+2)=f(x),
∴函數(shù)的周期是2,
則4m=2,則m=$\frac{1}{2}$,
則f(x+$\frac{1}{2}$)=-f($\frac{1}{2}$-x),
則f(0)=-f(1),
則a-1=-(a-0)=-a,
則a=$\frac{1}{2}$,
則a+b=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$,
故答案為:$\frac{3}{2}$

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,利用函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)以及函數(shù)的周期性建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.若x>0,則函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{{x}^{2}+1}$的最小值為(  )
A.16B.8C.10D.沒有最小值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.某農(nóng)場在冬季進(jìn)行一次菌種培養(yǎng)需要5天時間,5天內(nèi)每天發(fā)生低溫凍害的概率均為$\frac{1}{3}$.如果5天內(nèi)沒有發(fā)生凍害,可獲利潤10萬元,有一天發(fā)生凍害可獲利潤5萬元,有兩天發(fā)生凍害可獲利潤0萬元,而發(fā)生3天或3天以上凍害則損失2萬元.
(1)求一次菌種培養(yǎng)不出現(xiàn)虧損的概率;
(2)求一次菌種培養(yǎng)獲得利潤ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.(1)證明柯西不等式:若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,并指出此不等式里等號成立的條件:
(2)用柯西不等式求函數(shù)y=2$\sqrt{x-3}$+4$\sqrt{5-x}$的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.函數(shù)f(x)=ax(0<a<1)在[1,2]中的最大值比最小值大$\frac{a}{2}$,則a的值為$\frac{1}{2}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.設(shè)向量$\overrightarrow{\overrightarrow{a}}$=(λ+2,λ2-$\sqrt{3}$cos2a),向量$\overrightarrow{b}$=(m,$\frac{m}{2}$+sinacosa,其中λ,m,α為實(shí)數(shù).若向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$,則$\frac{λ}{m}$的取值范圍為(  )
A.[-6,1]B.[-3,3]C.[1,7]D.[2,8)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.已知一組數(shù)據(jù)4.6,4.9,5.1,5.3,5.6,則該組數(shù)據(jù)的方差是0.116.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.已知函數(shù)f(x)=2x+2-x
(1)求方程f(x)=$\frac{5}{2}$的根;
(2)求證:f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù);
(3)若對于任意x∈[0,+∞),不等式f(2x)≥f(x)-m恒成立,求實(shí)數(shù)m的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.如圖,過拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P(1,2),作兩條直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時:
(1)求y1+y2的值;
(2)若直線AB在y軸上的截距b∈[-1,3]時,求△ABP面積S△ABP的最大值.

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同步練習(xí)冊答案
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