Question

19．若x＞0，則函數y=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{{x}^{2}+1}$的最小值為（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 10
• D． 沒有最小值

Answer 1

分析 x＞0，可得t=x+$\frac{1}{x}$≥2，當且僅當x=1時取等號．因此函數y=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{{x}^{2}+1}$=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16}{x+\frac{1}{x}}$=t+$\frac{16}{t}$，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵x＞0，∴t=x+$\frac{1}{x}$≥2，當且僅當x=1時取等號．
∴函數y=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{{x}^{2}+1}$=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16}{x+\frac{1}{x}}$=t+$\frac{16}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{16}{t}}$=8，當且僅當t=4時取等號．
故選：B．

點評 本題考查了基本不等式的性質、換元法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．