Question

20．某農(nóng)場在冬季進行一次菌種培養(yǎng)需要5天時間，5天內(nèi)每天發(fā)生低溫凍害的概率均為$\frac{1}{3}$．如果5天內(nèi)沒有發(fā)生凍害，可獲利潤10萬元，有一天發(fā)生凍害可獲利潤5萬元，有兩天發(fā)生凍害可獲利潤0萬元，而發(fā)生3天或3天以上凍害則損失2萬元．
（1）求一次菌種培養(yǎng)不出現(xiàn)虧損的概率；
（2）求一次菌種培養(yǎng)獲得利潤ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)一次菌中培養(yǎng)發(fā)生3天或3天以上凍害的事件為A，利用n次獨立試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式求出P（A），由此利用對立事件概率計算公式能求出一次菌種培養(yǎng)不出現(xiàn)虧損的概率．
（2）一次菌種培養(yǎng)獲得利潤ξ的可能取值為10，5，0，-2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出一次菌種培養(yǎng)獲得利潤ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)一次菌中培養(yǎng)發(fā)生3天或3天以上凍害的事件為A，
則P（A）=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{3}$+${C}_{5}^{4}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{4}$+${C}_{5}^{5}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{51}{243}$，
∴一次菌種培養(yǎng)不出現(xiàn)虧損的概率：
p=1-P（A）=1-$\frac{51}{243}$=$\frac{192}{243}$．
（2）一次菌種培養(yǎng)獲得利潤ξ的可能取值為10，5，0，-2，
P（ξ=10）=${C}_{5}^{0}（\frac{2}{3}）^{5}$=$\frac{32}{243}$，
P（ξ=5）=${C}_{5}^{1}（\frac{2}{3}）^{4}（\frac{1}{3}）$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=0）=${C}_{5}^{2}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=-2）=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{3}$+${C}_{5}^{4}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{4}$+${C}_{5}^{5}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{51}{243}$，
∴一次菌種培養(yǎng)獲得利潤ξ的分布列為：

ξ	10	5	0	-2
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{51}{243}$

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=$10×\frac{32}{243}$+5×$\frac{80}{243}$+0×$\frac{80}{243}$+（-2）×$\frac{51}{243}$=$\frac{206}{81}$（萬元）．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意n次獨立試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用．