Question

15．解關于x的不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0．

Answer 1

分析 分類討論二次項的系數a³與0的關系，利用二次函數的性質，求得不等式的解集．

解答 解：對于不等式a³x²-（a²+a）x+1=（ax-1）•（a²x-1）＞0，
（1）當a=0時，不等式即1＞0，恒成立，此時，不等式的解集為R．
（2）當a＞0時，
若a=1，不等式即 x²-2x+1＞0，∴x≠1，即不等式的解集為{x|x≠1}．
若0＜a＜1，則$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0的解集為 {x|x＜$\frac{1}{a}$，或 x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$}．
若a＞1，則$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{{a}^{2}}$，不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0的解集為{x|x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，或 x＞$\frac{1}{a}$}．
②當a＜0時，則$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0的解集為 {x|$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$ }．
綜上可得，當a=0時，不等式的解集為R；
當a=1時，不等式的解集為{x|x≠1}；
當0＜a＜1時，不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{a}$，或 x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$}；
當a＞1時，不等式的解集為{x|x＞$\frac{1}{a}$，或 x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$}；
當a＜0時，不等式的解集為 {x|$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$ }．

點評 本題主要考查一元二次不等式的解法，二次函數的性質，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．