Question

19．如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）上一點P（1，2），作兩條直線分別交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時：
（1）求y₁+y₂的值；
（2）若直線AB在y軸上的截距b∈[-1，3]時，求△ABP面積S_△ABP的最大值．

Answer 1

分析 （1）把點P代入拋物線求得p則拋物線的方程可得，設直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB，則可分別表示k_PA和k_PB，根據傾斜角互補可知k_PA=-k_PB，進而求得y₁+y₂的值；
（2）表示出面積，利用導數方法求△ABP面積S_△ABP的最大值．

解答 解：（1）∵點P（1，2）在拋物線上，∴2²=2p，解得p=2．
設直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB．
則k_PA=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$（x₁≠1），k_PB=$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$（x₂≠1），
∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，
∴k_PA=-k_PB．
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線上，得
y₁²=4x₁，①y₂²=4x₂，②
∴y₁+2=-（y₂+2），∴y₁+y₂=-4．
（2）由①-②得直線AB的斜率為k_AB=-1．
因此設直線AB的方程為y=-x+b，由直線與拋物線方程聯立，消去y得x²-（2b+4）x+b²=0，
由△≥0，得b≥-1，這時x₁+x₂=2b+4，x₁x₂=b²，
|AB|=4$\sqrt{2}$$\sqrt{b+1}$，又點P到直線AB的距離為d=$\frac{|3-b|}{\sqrt{2}}$，
所以S_△ABP=$\sqrt{2（b+1）（3-b）^{2}}$，
令f（x）=（x+1）（3-x）²（x∈[-1，3]），則由f′（x）=（3x-1）（x-3）=0，得x=$\frac{1}{3}$或x=3，
當x∈（-1，$\frac{1}{3}$）時，f′（x）＞0，所以f（x）單調遞增，當x∈（$\frac{1}{3}$，3）時，f′（x）＞0，所以f（x）單調遞減，
故f（x）的最大值為$\frac{256}{27}$，故△ABP面積S_△ABP的最大值為$\frac{16\sqrt{6}}{9}$．

點評 本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，以及運算求解能力．