Question

8．正三角形ABC的兩個頂點A，B在拋物線x²=2py（p＞0）上，另一個頂點C是此拋物線焦點，則滿足條件的三角形ABC的個數為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意可知：x²=2py（P＞0）的焦點F（0，$\frac{p}{2}$），則兩個邊的斜率k=±tan60°=±$\sqrt{3}$，其方程為：y=±$\sqrt{3}$x+$\frac{p}{2}$，每條直線與拋物線均有兩個交點，焦點兩側的兩交點連接，分別構成一個等邊三角形．滿足條件的三角形ABC的個數為2，

解答 解：由拋物線x²=2py（P＞0）的焦點F（0，$\frac{p}{2}$），
等邊三角形的一個頂點位于拋物線x²=2py（P＞0）的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，則等邊三角形關于x軸軸對稱
兩個邊的斜率k=±tan60°=±$\sqrt{3}$，其方程為：y=±$\sqrt{3}$x+$\frac{p}{2}$，
每條直線與拋物線均有兩個交點，焦點兩側的兩交點連接，分別構成一個等邊三角形．
滿足條件的三角形ABC的個數為2，
故選C．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質．主要是利用拋物線和正三角形的對稱性，考查數形結合思想，屬于基礎題．