Question

19．某班5名學生的數學和物理成績如下表：

	A	B	C	D	E
數學成績（x）	88	76	73	66	63
物理成績（y）	78	65	71	64	61

（1）求物理成績y對數學成績x的回歸直線方程；
（2）一名學生的數學成績是96，試預測他的物理成績．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據表中數據，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，即可寫出回歸直線方程；
（2）利用（1）中回歸方程，計算x=96時$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）根據表中數據，計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（88+76+73+66+63）=73.4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（78+65+71+64+61）=67.8，
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25054，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=88²+76²+73²+66²+63²=27174，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{25054-5×73.4×67.8}{27174-5{×73.4}^{2}}$≈0.73，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=67.8-0.73×73.4≈14.22，
∴回歸直線方程為$\widehat{y}$=0.73x+14.22；
（2）利用（1）中回歸方程，
令x=96，則$\widehat{y}$=0.73×96+14.22=84.3，
∴一名學生的數學成績是96時，試預測他的物理成績是84.3．

點評 本題考查了回歸直線方程的求法與應用問題，也考查了計算能力，是中檔題．