Question

17．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{12}=1（{a＞0}）$，以原點為圓心，雙曲線的實軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形的ABCD的面積為$2\sqrt{3}a$，則a的值為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$或$2\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)A位于第一象限，根據(jù)雙曲線的漸近線方程，即可求得A點坐標(biāo)，根據(jù)四邊形的面積公式，即可求得a的值．

解答 解：根據(jù)對稱性，不妨設(shè)A在第一象限，A（x，y），雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{2\sqrt{3}}{a}$x，
由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2\sqrt{3}}{a}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+12}}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{{a}^{2}+12}}}\end{array}\right.$，
由四邊形的ABCD的面積為S=4xy=$2\sqrt{3}a$，
則4×$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+12}}$×$\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{{a}^{2}+12}}$=$2\sqrt{3}a$，
解得：a=2，
∴a的值為2，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的漸近線方程，考查計算能力，屬于中檔題．