Question

7．春節期間，受煙花爆竹集中燃放影響，我國多數城市空氣中PM2.5濃度快速上升，特別是在大氣擴散條件不利的情況下，空氣質量在短時間內會迅速惡化.2017年除夕18時和初一2時，國家環保部門對8個城市空氣中PM2.5濃度監測的數據如表（單位：微克/立方米）．

	除夕18時PM2.5濃度	初一2時PM2.5濃度
北京	75	647
天津	66	400
石家莊	89	375
廊坊	102	399
太原	46	115
上海	16	17
南京	35	44
杭州	131	39

（Ⅰ）求這8個城市除夕18時空氣中PM2.5濃度的平均值；
（Ⅱ）環保部門發現：除夕18時到初一2時空氣中PM2.5濃度上升不超過100的城市都是“禁止燃放煙花爆竹“的城市，濃度上升超過100的城市都未禁止燃放煙花爆竹．從以上8個城市中隨機選取3個城市組織專家進行調研，記選到“禁止燃放煙花爆竹”的城市個數為X，求隨機變量y的分布列和數學期望；
（Ⅲ） 記2017年除夕18時和初一2時以上8個城市空氣中PM_2.5濃度的方差分別為s₁²和s₂²，比較s₁²和s₂²的大小關系（只需寫出結果）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平均數的計算公式即可得出8個城市除夕18時空氣中PM2.5濃度的平均值．
（II）以上8個城市中禁止燃放煙花爆竹的有太原，上海，南京，杭州4個城市，
隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{8}^{3}}$，即可得出分布列，進而得到X的數學期望EX．（III）${s}_{1}^{2}$＜${s}_{2}^{2}$．

解答 解：（Ⅰ）8個城市除夕18時空氣中PM2.5濃度的平均值
$\overline{x}$=$\frac{75+66+89+102+46+16+35+131}{8}$=70．
（Ⅱ）以上8個城市中禁止燃放煙花爆竹的有太原，上海，南京，杭州4個城市，
隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{8}^{3}}$，可得：P（X=0）=$\frac{1}{14}$，P（X=1）=$\frac{6}{14}$，P（X=k）=$\frac{6}{14}$，
P（X=3）=$\frac{1}{14}$．
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{6}{14}$	$\frac{6}{14}$	$\frac{1}{14}$

X的數學期望EX=0×$\frac{1}{14}$+1×$\frac{6}{14}$+2×$\frac{6}{14}$+3×$\frac{1}{14}$=$\frac{3}{2}$．
（III）${s}_{1}^{2}$＜${s}_{2}^{2}$．

點評 本題考查了平均數的計算公式、超幾何分布列的概率計算公式與數學期望、方差計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．