Question

15．函數f（x）=ax³-2ax²+（a+1）x-log₂（a²-1）不存在極值點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （1，+∞）
• C． （1，4]
• D． （1，3]

Answer 1

分析 由已知函數解析式可得導函數解析式，根據導函數不變號，函數不存在極值點，分別討論a=0和a≠0時，a的取值，綜合討論結果可得答案．

解答 解：∵f（x）=ax³-2ax²+（a+1）x-log₂（a²-1），可得a²-1＞0，解得a＜-1或a＞1，
∴f′（x）=3ax²-4ax+（a+1），
△=16a²-12a（a+1）≤0時，
即1＜a≤3時，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上為增函數，滿足條件
綜上，函數f（x）=ax³-2ax²+（a+1）x不存在極值點的充要條件是1＜a≤3．
故選：D．

點評 本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，其中a²-1＞0這種情況易被忽略．