Question

5．已知f（x）是定義在（-∞，1）∪（1，+∞）上的可導函數，且f（x）=f′（2）x²+xf（x）+x，則f（x）的解析式為f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{1-x}$，（x≠1）．

Answer 1

分析 由f（x）=f′（2）x²+xf（x）+x，令x=2，可得：4f′（2）+f（2）+2=0．對f（x）=f′（2）x²+xf（x）+x，兩邊求導可得：f′（x）=2xf′（2）+f（x）+xf′（x）+1，令x=2，可得5f′（2）+f（2）+1=0，聯立解得f′（2）．代入即可得出．

解答 解：∵f（x）=f′（2）x²+xf（x）+x，
令x=2，則f（2）=4f′（2）+2f（2）+2，化為：4f′（2）+f（2）+2=0．
對f（x）=f′（2）x²+xf（x）+x，兩邊求導可得：f′（x）=2xf′（2）+f（x）+xf′（x）+1，
令x=2，則f′（2）=4f′（2）+f（2）+2f′（2）+1，即5f′（2）+f（2）+1=0，
聯立解得f′（2）=1．
∴f（x）=x²+xf（x）+x，
∵x≠1，解得f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{1-x}$．
故答案為：f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{1-x}$，（x≠1）．

點評 本題考查了導數的運算法則、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．