Question

16．在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G為AD中點，F是CE的中點．
（1）證明：BF∥平面ACD；
（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小；
（3）求點G到平面BCE的距離．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標系，求出直線BF的方向向量和平面ACD的法向量，根據兩個向量垂直可得線面平行；
（2）分別求出平面BCD與平面ACD的法向量，代入向量夾角公式，求出兩個向量夾角的余弦值，進而可得二面角的大小
（3）求出BG的方向向量的坐標，進而根據公式可得點G到平面BCE的距離．

解答 （1）證明：以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
使得x軸和z軸的正半軸分別經過點A和點E，則各點的坐標為D（0，0，0），B（2，0，1），E（0，0，2），C（1，$\sqrt{3}$，0），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）
又∵$\overrightarrow{DE}$=（0，0，2）為平面ACD的一個法向量
且$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{DE}$=0
∴BF∥平面ACD；       …（4分）
（2）解：設平面BCE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{CB}$，且$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{CE}$，
由$\overrightarrow{CB}$=（1，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{CE}$=（-1，$\sqrt{3}$，2）得$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y+z=0}\\{-x-\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，
不妨設y=$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2）
又∵$\overrightarrow{DE}$=（0，0，2）為平面ACD的一個法向量
∴所求角θ滿足cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小為$\frac{π}{4}$；       …（8分）
（3）解：由已知G點坐標為（1，0，0），
∴$\overrightarrow{BG}$=（-1，0，-1），
由（2）平面BCE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2）
∴所求距離d=|$\frac{-1-2}{\sqrt{1+3+4}}$|=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．                        …（12分）

點評 本題考查的知識點是二面角的平面角，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，建立空間坐標系將空間線面關系轉化為向量關系，是常用的解題方法，要求熟練掌握．