Question

20．已知奇函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，且f（1）=$\frac{1}{2}$，若實數(shù)a滿足f（log_a3）-f（log_a$\frac{1}{3}$）≤1，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． 0＜a≤$\frac{1}{3}$
• B． a≤$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$≤a＜1
• D． a≥3或0＜a＜1

Answer 1

分析 由題意利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可得2f（log_a3）≤1，即f（log_a3）≤$\frac{1}{2}$=f（1），故有 log_a3≤1，由此求得a的范圍．

解答 解：奇函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，且f（1）=$\frac{1}{2}$，
若實數(shù)a滿足f（log_a3）-f（log_a$\frac{1}{3}$）≤1，∴f（log_a3）+f（-${log}_{a}\frac{1}{3}$）=f（log_a3）+f（log_a3）=2f（log_a3）≤1，
即f（log_a3）≤$\frac{1}{2}$=f（1），∴l(xiāng)og_a3≤1，求得a≥3，或0＜a＜1，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．