Question

13．某科技公司生產一種手機加密芯片，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于70為合格品，小于70為次品．現隨機抽取這種芯片共120件進行檢測，檢測結果統計如表：

測試指標	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
芯片數量（件）	8	22	45	37	8

已知生產一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品則虧損50元．
（Ⅰ）試估計生產一件芯片為合格品的概率；并求生產3件芯片所獲得的利潤不少于700元的概率．
（Ⅱ）記ξ為生產4件芯片所得的總利潤，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用頻率分布表，求解概率即可．
（Ⅱ）求出ξ的所有取值為1600，1150，700，250，-200，求出概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意芯片為合格品的概率$P=\frac{45+37+8}{120}=\frac{3}{4}$…（2分）
則利潤不少于700元的情況為兩件正品，一件次品或三件正品
所以$P=C_3^2{（\frac{3}{4}）^2}×\frac{1}{4}+C_3^3{（\frac{3}{4}）^3}=\frac{27}{32}$…（6分）
（Ⅱ）ξ的所有取值為1600，1150，700，250，-200，
$P（ξ=1600）=C_4^4{（\frac{3}{4}）^4}=\frac{81}{256}$，
$P（ξ=1150）=C_4^3{（\frac{3}{4}）^3}×\frac{1}{4}=\frac{27}{64}$，
$P（ξ=700）=C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}×{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{27}{128}$，
$P（ξ=250）=C_4^1\frac{3}{4}×{（\frac{1}{4}）^3}=\frac{3}{64}$，
$P（ξ=-200）={（\frac{1}{4}）^4}=\frac{1}{256}$，

ξ	1600	1150	700	250	-200
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

…（10分）
所以$E（ξ）=1600×\frac{81}{256}+1150×\frac{27}{64}+700×\frac{27}{128}+250×\frac{3}{64}-200×\frac{1}{256}=1150$…（12分）

點評 本題考查概率分布列以及期望的求法，考查計算能力．