Question

9．在直角坐標系xOy，直線l的參數方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數）．在以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系中，曲線C：ρ=4sinθ．
（1）當m=-1，α=30°時，判斷直線l與曲線C的位置關系；
（2）當m=1時，若直線與曲l線C相交于A，B兩點，設P（1，0），且||PA|-|PB||=1，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析 （1）由題意利用ρ²=4ρsinθ，ρ²=x²+y²，將曲線C化為普通方程，將直線l的參數t消去為普通方程，圓心M到直線l的距離d與半徑比較可得直線l與曲線C的位置關系．
（2）設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，利用參數的幾何意義建立關系，可得直線l的傾斜角．

解答 解：（1）由ρ=4sinθ，得ρ²=4ρsinθ，又ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得曲線C的普通方程為（x-2）²+y²=4，
所以曲線C是以M（2，0）為圓心，2為半徑的圓，
由直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），
得直線l的直線坐標方程為$x-\sqrt{3}y+1=0$．
由圓心M到直線l的距離d=$\frac{丨2-0+1丨}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{3}{2}$＜2，
故直線l與曲線C相交．
（2）直線l為經過點P（1，0）傾斜角為α的直線，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，代入（x-2）²+y²=4，整理得，t²-2tcosα-3=0，△=（2cosα）²+12＞0，
設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=2cosα，t₁t₂=-3＜0，
所以t₁，t₂異號．則||PA|-|PB||=|t₁+t₂|=|2cosα|=1，
所以cosα=±$\frac{1}{2}$，又α∈[0，π），
所以直線l的傾斜角α=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查圓的極坐標，直線的參數方程，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．