Question

19．已知圖一是四面體ABCD的三視圖，E是AB的中點，F是CD的中點．
（1）求四面體ABCD的體積；
（2）求EF與平面ABC所成的角．

Answer 1

分析 （1）根據三視圖得出棱錐的結構特征和棱長，代入體積公式計算；
（2）通過V_E-BCF=V_F-BCE得出F到平面ABC的距離，利用線面角的定義即可得出線面角的正弦值，從而得出所求線面角的大小．

解答 解：（1）由三視圖可知AD⊥平面BCD，BD⊥CD，
AD=1，CD=BD=2，
∴四面體ABCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{Rt△BCD}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$．
（2）∵E是AB的中點，F是CD的中點，
∴E到平面BCD的距離為$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$，S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_△BCD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2$=1，
∴V_E-BCF=$\frac{1}{3}{S}_{△BCF}•\frac{1}{2}AD$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．
由勾股定理得AB=AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$，∴△ABC的BC邊上的高為$\sqrt{A{B}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
設F到平面ABC的距離為h，則V_F-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•h$=$\frac{\sqrt{6}}{6}h$，
又V_E-BCF=V_F-BCE，∴$\frac{1}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}h$，解得h=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
連結DE，則DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
設EF與平面ABC所成的角為θ，則sinθ=$\frac{h}{EF}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
∴EF與平面ABC所成的角為arcsin$\frac{\sqrt{6}}{9}$．

點評 本題考查了棱錐的結構特征和三視圖，棱錐的體積計算，空間角的計算，屬于中檔題．