Question

3．已知實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-6≤0}\\{2x+y≥0}\\{y≤2}\end{array}\right.$，則$\frac{y+4}{x-7}$的取值范圍為（-∞，$-\frac{8}{29}$]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義，轉化求解即可．

解答 解：實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-6≤0}\\{2x+y≥0}\\{y≤2}\end{array}\right.$的可行域如圖：
則$\frac{y+4}{x-7}$的幾何意義是可行域內的點與D（7，-4）點連線的斜率，
由可行域可知A，C兩點與D（7，-4）連線的斜率是臨界值，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-2y-6=0}\end{array}\right.$解得A（10，2），$\frac{y+4}{x-7}$≥k_AD=$\frac{2+4}{10-7}$=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-6=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$解得C（$\frac{6}{5}$，-$\frac{12}{5}$），$\frac{y+4}{x-7}$≤k_CD=$\frac{-\frac{12}{5}+4}{\frac{6}{5}-7}$=$-\frac{8}{29}$，

則$\frac{y+4}{x-7}$的取值范圍為：（-∞，$-\frac{8}{29}$]∪[2，+∞）．
故答案為：（-∞，$-\frac{8}{29}$]∪[2，+∞）．

點評 本題考查簡單的線性規劃的應用，畫出可行域，判斷目標函數的幾何意義是解題的關鍵，考查計算能力，數形結合的應用．